伯努利方程（Bernoulli equation）
理想正壓流體在有勢徹體力作用下作定常運動時，運動方程（即歐拉方程）沿流線積分而得到的表達(dá)運動流體機械能守恒的方程。因著名的瑞士科學(xué)家D.伯努利于1738年提出而得名。對于重力場中的不可壓縮均質(zhì)流體 ，方程為
p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C
式中p、ρ、v分別為流體的壓強、密度和速度；z 為鉛垂高度；g為重力加速度。
上式各項分別表示單位體積流體的壓力能 p、重力勢能ρg z和動能(1/2)*ρv ^2，在沿流線運動過程中，總和保持不變，即總能量守恒。但各流線之間總能量（即上式中的常量值）可能不同。對于氣體，可忽略重力，方程簡化為p+(1/2)*ρv ^2＝常量(p0)，各項分別稱為靜壓 、動壓和總壓。顯然 ，流動中速度增大，壓強就減??；速度減小， 壓強就增大；速度降為零，壓強就達(dá)到最大(理論上應(yīng)等于總壓)。飛機機翼產(chǎn)生舉力，就在于下翼面速度低而壓強大，上翼面速度高而壓強小 ，因而合力向上。 據(jù)此方程，測量流體的總壓、靜壓即可求得速度，成為皮托管測速的原理。在無旋流動中，也可利用無旋條件積分歐拉方程而得到相同的結(jié)果但涵義不同，此時公式中的常量在全流場不變，表示各流線上流體有相同的總能量，方程適用于全流場任意兩點之間。在粘性流動中，粘性摩擦力消耗機械能而產(chǎn)生熱，機械能不守恒，推廣使用伯努利方程時，應(yīng)加進(jìn)機械能損失項。
圖為驗證伯努利方程的空氣動力實驗。
補充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1）
p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量 （2）
均為伯努利方程
其中ρv^2/2項與流速有關(guān)，稱為動壓強，而p和ρgh稱為靜壓強。
伯努利方程揭示流體在重力場中流動時的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高處壓力低，流速低處壓力高。
圖II.4-3為一噴油器，已知進(jìn)口和出口直徑D1=8mm，喉部直徑D2=7.4mm，進(jìn)口空氣壓力p1=0.5MPa，進(jìn)口空氣溫度T1=300K，通過噴油器的空氣流量qa=500L/min（ANR），油杯內(nèi)油的密度ρ=800kg/m3。問油杯內(nèi)右面比喉部低多少就不能將油吸入管內(nèi)進(jìn)行噴油？
解：
由氣體狀態(tài)方程，知進(jìn)口空氣密度ρ=p1/(RT1）=（0.5+0.1）/（287*300）kg/m3=6.97kg/m3
求通過噴油器的質(zhì)量流量：
qm=ρa*qa=(1.185*500*10-3/60)kg/s=0.009875kg/s
求截面積1和截面積2處的平均流速：
u1=qm(ρ1A1)=[0.009875/(6.97*0.785*0.0082)]m/s=28.2m/s
u2=qm(ρ2A2)=[0.009875/(6.97*0.785*0.00742)]m/s=33m/s
由伯努利方程課的：
p1-p2=0.5*ρ1(u22-u12)=0.5*6.97(332-28.22)pa=1014pa
吸油管內(nèi)為靜止油液，若能吸入喉部，必須滿足：
p1-p2≥ρgh
h≤(p1-p2)/ρg=1014/(800*9.8)m=0.129m
故
說明油杯內(nèi)油面比喉部低129mm以上便不能噴油。
